Binomiales Repräsentationstheorem – Part I: Keine Zinsen


Einleitung

Mittels des binomialen Repräsentationstheorem kann anhand eines einfachen Modells das prinzipielle Vorgehen bei der Duplikation unsicherer Zahlungsstrukturen gezeigt werden. Die Einsichten, die mit Hilfe dieses Modells gewonnen werden, sind z. B. für das Verständnis des martingalen Repräsentationstheorem hilfreich. Das martingale Repräsentationstheorem ist wichtig für die Bewertung von Derivaten in realistischeren Modellen und ermöglicht z. B. die Ableitung der Optionspreisformel von Black/Scholes (1973).

Das Folgende fusst hauptsächlich auf  Baxter/Rennie (1996), S. 35 ff., Ingersoll (1987) und Neftci (1996).
Sollte etwas unklar oder unverständlich sein, ist es eventuell hilfreich sich mittels der downloadbaren Exceldatei,
brpt, einen Überblick anhand eines Beispiels zu verschaffen. In dem EXCEL-Tabellenblatt können die einzelnen Überlegungen numerisch nachvollzogen und eigene Experimente durchgeführt werden.

Im Folgenden wird ein sehr einfacher stochastischer Prozess modelliert:
Eine Aktie hat im Zeitpunkt t=0 einen Wert S, eine Zeiteinheit später in t=1 erhöht sich der Wert der Aktie auf S_u oder fällt auf S_d, siehe Abbildung 1.

Abbildung 1: S nach S_u oder S_d ; Bsp. 97 nach 100 oder 90

Abbildung 1: Entwicklung eines Aktienkurses

Der Zinssatz betrage in diesem einfachen Modell sowohl für die Geldanlage als auch die Kreditaufnahme Null. Das bedeutet, es gibt ein zweites, zugegebenermaßen recht triviales Wertpapier mit dem Wert B_0 in t=0 und B_u = B_d = B in t=1. Da der Zins hier gleich 0 sein soll, ist auch B = B_0. Geldanlage bedeutet hier, Geld in eine Schublade stecken und eine Periode später wieder aus der Schublade holen. Kreditaufnahme bedeutet hier, Geld in t=0 zur Verfügung gestellt zu bekommen und eine Periode später den gleichen Betrag zurück zu bezahlen.

Man kann sich Geldanlage und Kreditaufnahme auch in Form einew Wertpapiers vorstellen, nämlich eine Anleihe (oder Bond). B_0 ist dann der Preis für diese Anleihe in t=0 und B ist der Preis der Anleihe in t=1. In einer Welt ohne Zinsen fallen B und B_0 zusammen.

Arbitrage I

Arbitrageüberlegungen führen dazu, dass S zwischen S_d und S_u liegen muss: Ist S kleiner als oder gleich S_d kann man durch Kreditaufnahme und Kauf der Aktie einen risikofreien Gewinn erzielen. Ist S größer als oder gleich S_u kann man durch den Verkauf der Aktie und Anlage des Verkaufserlöses einen risikofreien Gewinn erzielen.

Eine ähnliche Überlegung gilt für die risikolose Geldanlage bzw. Kreditaufnahme: Der Preis in einer Welt ohne Zinsen muss B = B_0 sein, sonst gäbe es auch hier die Möglichkeit einen risikofreien Gewinn zu erzielen.

Derivat

Neben der Aktie sei in dem Modell noch ein Derivat vorhanden. Das Derivat habe einen Wert f im Zeitpunkt t=0 und einen Wert f_u, wenn S_u eintritt, und f_d, wenn S_d eintritt. Damit erklärt sich auch der Begriff Derivat. Abhängig vom Eintreten von S_u oder S_d tritt f_u oder f_d ein. Dabei kann f_u und f_d beliebig definiert werden, z. B. wie im Beispiel als klassischer Call (dabei sei X, im Beispiel 95, der Basispreis), siehe Abbildung 2:

f_u = Max (S_u – X; 0) = Max (100 – 95; 0) = 5,
f_d = Max (S_d – X; 0) = Max (90 – 95; 0) = 0.

Abbildung 2: f nach f_u oder f_d; Bsp. Call mit X = 95, dann f_u=5 und f_d=0

Abbildung 2: Derivat

Die Auszahlungen f_u und f_d können aber ganz beliebig definiert werden, z. B. dass f_u = 1000, wenn S_u eintritt und f_d = 0, wenn S_d eintritt.

Martingal

Ein Martingal ist ein stochastischer Prozess, dessen aktueller Wert gleich dem Erwartungswert ist. Martingale werden immer in Bezug auf Wahrscheinlichkeitsmaße definiert. Ein Prozess mit erwarteten Werten von 100 und 90 und einem aktuellen Wert von 97 ist für die Wahrscheinlichkeitsverteilung W(100) = 0,7 und W(90)=0,3 ein Martingal, da 100*0,7 + 90*0,3 = 97. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung W(100)=0,5 und W(90)=0,5 ist der Prozess jedoch kein Martingal, da 100*0,5 + 90*0,5 = 95.
Für das Modell mit der Aktie lassen sich Martingalwahrscheinlichkeiten konstruieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass S_u eintrete, sei q, damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt von S_d die Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich (q-1).  Der mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechnete Erwartungswert sei gleich dem Aktienkurs:

S = q*S_u + (1–q)*S_d.

Auflösen nach q ergibt q = (S – S_d)/(S_u – S_d).

Dieses q hat mit den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten nichts zu tun, sondern ist die Folge der Relation von S, S_d und S_u und hat die Eigenschaft,. dass der mit diesen Wahrscheinlichkeiten berechnete Erwartungswert gleich S ist. Im Beispiel ergibt sich q wie folgt:

q=(97-90)/(100-90) = 0,7

Und tatsächlich ist der Erwartungswert der mit diesen Wahrscheinlichkeiten mutiplizierten Zahlungen 0,7*100 = 0,3*90 = 97.

Das Derivat lässt sich ebenfalls als Martingal beschreiben:

f = q*f_u + (1–q)*f_d.

Auflösen nach q ergibt einen ähnlichen Ausdruck wie oben q = (f – f_d)/(f_u – f_d).

Achtung: Auch hier gilt, dass das Martingal immer in Bezug auf eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ist. Hätte f einen Wert in Höhe von 2,5, dann wäre das Derivat ein Martingal in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung W(5)=0,5 und W(0)=0, denn 2,5 = 0,5*5 + 0,5*0 = 0. Aber f wäre kein Martingal für die Martingalwahrscheinlichkeiten von S:

2,5 <> 0,7*5 + 0,3*0 = 3,5.

Nur 3,5 wäre ein Martingal für die Martingalwahrscheinlichkeiten von S. Später wird ersichtlich, dass Arbitragefreiheit tatsächlich die Bewertung des Derivats als mit den Martingalwarscheinlichkeiten von S gebildeten Erwartungswert darstellt.

Selbst die Geldaufnahme / Geldanlage, das risikolose Wertpapier lässt sich als Martingal beschreiben:

1 = q*1 + (1–q)*1.

Auflösen nach q geht nicht, da diese Gleichung für alle q erfüllt ist.

Das binomiale Repräsentationstheorem

Das binomiale Repräsentationstheorem besagt, dass in t=0 ein Wert Φ existiert, so dass die zukünftigen Werte eines Martingals, im Beispiel das Derivat, in Abhängigkeit eines anderen Martingals, im Beispiel die  Aktie, konstruiert werden können, siehe Baxter / Rennie (1996), S. 35:

f_u = f + Φ*(S_u – S),
f_d = f + Φ*(S_d – S).

Eliminieren von f und auflösen nach Φ führt zu:

Φ = (f_u – f_d)/(S_u – S_d).

Wie lässt sich Φ herleiten?

Wir nehmen an oder setzen voraus, dass sowohl die Aktie als auch das Derivat Martingale in Bezug auf dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung sind, daher gelten folgende Beziehungen:

q = (S – S_d)/(S_u – S_d) und

q = (f – f_d)/(f_u – f_d).

Gleichsetzen der beiden Gleichungen und Umformen ergibt tatsächlich:

f_u = f + (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*(S_u – S)
f_d = f + (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*(S_d – S).

Die Differenz D der beiden Gleichungen ist unabhängig von f und beträgt:

D = f + (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*(S_u – S) – (f + (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*(S_d – S)),
D = (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*S_u – (f_u – f_d)/(S_u – S_d)*S_d,
D = f_u – f_d.

Die korrekten Auszahlungen des Derivats erhält man nur, wenn f der mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechnete Erwartungswert der Auszahlungen des Derivats ist. Für unser Beispiel gilt:

f_u = 3,5 + (5 – 0)/(100 – 90)*(100 – 97) = 3,5 + 1,5 = 5,

f_d = 3,5 + 0,5 * (90 – 97) = 0.

Die Auszahlungen werden genau getroffen. Nimmt man an, dass das Derivat nicht 3,5, sondern z. B. 4 Wert ist, folgt:

f_u = 5,5 und f_d = 0,5.

Die Auszahlungen des Derivats werden jetzt nicht mehr getroffen, nur die Differenz stimmt noch.

Arbitrage II

An dieser Stelle könnte man abbrechen, da das Ziel, den Wert des Derivats zu berechnen, erreicht wurde.

Genauer gesagt: Schon mit der Ableitung der Martingalwahrscheinlichkeiten „wusste“ man ja schon den Wert des Derivats. Das binomiale Repräsentationstheorem trifft eine Aussage über die Konstruktion eines Martingals. Diese Konstruktion zu kennen ist wichtig, um die folgende ökonomische Argumentation nachvollziehen zu können, warum der mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechnete Wert tatsächlich der korrekte Wert ist.

Offen blieb bis jetzt, warum der mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechnete Erwartungswert gleich dem Wert des Derivats sein soll. Arbitrageüberlegungen zur Rechtfertigung des Wertes des Derivats fehlen.

Es wurde nur behauptet, dass der Wert des Derivats dem mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechneten Erwartungswert entspricht. Sollte es allerdings gelingen, ein Portefeuille aus der Aktie und einer Geldanlage bzw. Kreditaufnahme zu konstruieren, das dieselbe Zahlungsstruktur wie das Derivat aufweist, und dessen Wert zusätzlich dem mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechneten Erwartungswert entspricht, können Arbitrageüberlegungen die bisherige Wertermittlung unterstützen.

Es gilt also, ein Portefeuille zu konstruieren, das dieselben Zahlungen aufweist wie das Derivat. Man könnte es ja mal mit Φ Aktien versuchen. Im Beispiel hätte man dann folgende Auszahlungen des Portefeuille:

p = – Φ *S = 0,5 * 97 = – 48,5,

p_u = Φ *S_u = 0,5 * 50 und

p_d = Φ *S_d = 0,5 * 90 = 45.

Vergleicht man diese Einzahlungen mit den Zahlungen des Derivats (f_u = 5 und f_d = 0) sieht man, dass die Zahlungen des Derivats nicht getroffen werden, aber die Differenz der beiden Zahlungen des Portefeuille der Differenz der beiden mit dem Derivat verbundenen Zahlungen entspricht. Dies ergibt sich aus der Konstruktion von Φ.

Da die Differenz getroffen ist, muss man nur noch einen konstanten Betrag von den beiden Einzahlungen abziehen, um die Zahlungsstruktur genau zu treffen, im Beispiel sind das 45. Dahinter verbirgt sich eine Kreditaufnahme. In t=0 erhält man ψ * B_0 = 45, die man in t=0 mit ψ * B = 45 zurückzahlen muss (Praktischerweise setzt man B_0 = B = 1, dann ist ψ der aufgenommen bzw. angelegte Kreditbetrag). Damit ergeben sich folgende Zahlungen des Portefeuille:

p = – Φ *S + ψ * B_0 = – 0,5 * 97 + 45 = -3,5,

p_u = Φ *S_u – ψ * B = 0,5 * 50 – 45 = 5 und

p_d = Φ *S_d – ψ * B = 0,5 * 90 – 45 = 0.

Da dieses Portefeuille dieselbe Zahlungsstruktur in t=1 aufweist wie das Derivat, muss der Wert des Derivats 3,5 betragen. Allgemein bestimmt sich ψ * B_0 aus der Auflösung der Gleichung:

Φ *S_u – ψ * B = f_u,

ψ * B = Φ *S_u – f_u.

Wird Φ eingesetzt und nach aufgelöst, egibt sich:

ψ * B = Φ *S_u  – f_u = (f_u * S_d – f_d * S_u) / (S_u – S_d).

Für das Beispiel folgt:

ψ * B = (5 * 90 – 0 * 100) / (100 – 90) = 450 / 10 = 45.

Der Wert des Portefeuilles in t=0 beträgt:

Φ *S – ψ * B_0

Die damit verbundenen Zahlungen in t=1 sind:

ψ*B + Φ*S_u = f – Φ*S + Φ*S_u = f + Φ*(S_u – S) = f_u,

ψ*B + Φ*S_d = f – Φ*S + Φ*S_d = f + Φ*(S_d – S) = f_d.

Und weil das Portefeuille dieselben Auszahlungen wie das Derivat aufweist, nämlich f_u und f_d, muss der Wert des Derivats dem Wert des Portefeuilles entsprechen.
Wäre der Wert des Derivats höher, würde das Derivat verkauft und mit f das Portefeuille gekauft werden. Wäre der Wert des Derivats niedriger, würde man das Derivat kaufen und für f das Portefeuille verkaufen. Beide Male könnte ein risikoloser Gewinn erzielt werden.

Interessanterweise ist die Bewertung von Derivaten mittels Arbitrage wesentlich einfacher als die Bewertung der den Derivaten zugrunde liegenden Basiswerte. Will man die Basiswerte mittels Arbitrage bewerten, ist man darauf angewiesen, ähnliche Wertpapiere (Substitute) zu finden. In der Praxis ist das nicht immer ganz einfach und birgt Risiken, vgl. Shleifer (2000), 13: „… in contrast to the efficient markets theory, real–world arbitrage is risky and therefore limited.“

Die EXCEL-Datei

Mit der downloadbaren Datei brpt können die oben beschriebenen Sachverhalte auf eine einfache Art und Weise nachvollzogen werden.

In den Zeilen 3 – 11 können die Auszahlungsstruktur und Preise für die Aktie und das Derivat spezifiziert werden. Der Wert des Derivats kann ganz beliebig gewählt werden. Im Beispiel ist er mit f=4 (Zeile 8) absichtlich nicht der arbitragefreie Wert.
In der Zeile 13 wird Φ berechnet, und zwar auf Grundlage des vorgegebenen Derivatwertes f, der beliebig sein kann.
In den Zeilen 16 und 17 werden auf Grundlage von Φ die Auszahlungen des Derivats berechnet.
Man sieht hier, dass die Differenz zwischen den Auszahlungen bereits korrekt ist, aber die Höhe der Auszahlungen nicht identisch mit denen des Derivat ist, siehe Abbildung 3.

Abbildung 3: Exceltabelle, kein arbitragefreier Wert

Abbildung 3: Exceltabelle, kein arbitragefreier Wert

In der Zeile 26 werden die Martingalwahrscheinlichkeiten aus der Struktur (S, S_u und S_d) berechnet. Damit kann ein Erwartungswert für das Derivat berechnet werden, siehe Zeile 30. Setzt man diesen Wert in Zeile 8 für f ein, sieht man, dass jetzt nicht nur die Spannweite, sondern auch die Lage der mit Φ berechneten Auszahlungen f_u(Φ) und f_d(Φ) stimmen, siehe Zeilen 16 und 17, siehe Abbildung 4.

Abbildung 4: Exceltabelle, arbitragefreier Wert

Abbildung 4: Exceltabelle, arbitragefreier Wert

Natürlich kann man in die Zelle B8 „+B30“ zu schreiben. Damit hat man immer den „korrekten“ Wert für das Derivat in B8 stehen. Ab Zeile 34 folgt die Replikationsstrategie. Die Anzahl der Aktien im Portefeuille beträgt Φ, Zeile 40.

Der Preis wird in Zeile 42 berechnet. Im Beispiel wird eine halbe Aktie für 47,5 gekauft. Die Kreditaufnahme errechnet sich aus der Differenz zwischen Wert der Aktienposition und dem Wert des Derivats, siehe Zeile 46, im Beispiel wird ein Kredit in Höhe von 45 aufgenommen, damit hat man für das Portefeuille bestehend aus einer halben Aktie und einem Kredit in Höhe von 45 Geldeinheiten 2,5 Geldeinheiten ausgegeben. In Zeile 50 und 51 sieht man wie das Portefeuille aus den Aktien und der Kreditaufnahme, die gleichen Auszahlungen wie das Derivat aufweist, siehe Abbildung 5.

Abbildung 5: Exceltabelle, replizierendes Portefeuille

Abbildung 5: Exceltabelle, replizierendes Portefeuille

Da der Wert dieses Portefeuilles gleich dem mit den Martingalwahrscheinlichkeiten berechneten Erwartungswert ist, ist dies auch der korrekte – nämlich arbitragefreie – Wert des Derivats.

Einige Folgerungen

Mittels dieses einfachen Modells können schon eine Reihe von Einsichten gewonnen werden:

  • Ceteris Paribus ist bei einem niedrigeren Basiswert der Wert eines Calls höher. Der Wert eines Puts ist niedriger.
  • Bei einem klassischen Call mit f_u = MAX (S_u–X;0) und f_d = MAX (S_d–X;0) ist Φ zwischen 0 und 1.
    Das Φ kann als Hedge–Parameter interpretiert werden, der angibt, wieviele Aktien gekauft werden müssen, um die Auszahlung des Calls abzubilden.
  • Bei einem klassischen Put mit f_u = MAX (X–S_u;0) und f_d = MAX (X–S_d;0) ist Φ zwischen 0 und –1. Auch hier kann Φ als Hedge–Parameter interpretiert werden, der angibt, wieviele Aktien gekauft werden, müssen um die Auszahlung des Puts abzubilden. Das negative Vorzeichen bedeutet, die Aktien werden leer verkauft. Hier wird deutlich: der Hedgeparameter ist keine Wahrscheinlichkeit.
  • Ceteris Paribus ist bei einem höheren Aktienkurs S der Wert eines Calls höher und der Wert eines Puts niedriger.
  • Es lassen sich auch exotische Zahlungsstrukturen wie z. B. „Wenn S_u den Wert übersteigt, dann erhält man aus dem Derivat eine Zahlung in Höhe von 1000“ modellieren. Auch hier gibt Φ die Anzahl der Aktien an, die gekauft werden müssen, um die Auszahlung nachzubilden. Diese Anzahl der Aktien kann sehr hoch sein und auch hier gilt wieder,
    dass der Hedgeparameter natürlich keine Wahrscheinlichkeit darstellt.
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