Binomiales Repräsentationstheorem – Part II: Zinsen


Einleitung

Im Folgenden wird ein sehr einfacher stochastischer Prozess modelliert: Eine Aktie hat im Zeitpunkt t=0 einen Wert S, eine Zeiteinheit später erhöht sich der Wert der Aktie auf S_u oder fällt auf S_d. Der Zinssatz sei jetzt positiv und sowohl für die Geldanlage als auch die Kreditaufnahme derselbe. Auch hier gibt es wieder eine EXCEL-Datei, um das Modell auch numerisch nachvollziehen zu können, siehe BinomialRepresentationTheorem_Zinsen.
Der Zinssatz wird mit r bezeichnet und es handelt es sich um einen stetigen Zinssatz, d.h. legt man einen Betrag K_0 für einen Zeitraum δt an, bekommt man K_0· exp(r·δt) – K_0 Zinsen am Ende der Periode zurückgezahlt, z.B. bei einem Betrag in Höhe von 100 EUR, der über 2 Jahre zu einem Zinssatz von 3% angelegt wird:

100 EUR · exp(0,03·2) – 100 EUR = 106,18 EUR – 100 EUR = 6,18 EUR.

Für die Kreditaufnahme gilt ähnliches, ein Betrag über 100 EUR für zwei Jahre geliehen, kostet an Zinsen 6,18 EUR.

In der EXCEL-Datei gibt es das Tabellenblatt „zins“, das veranschaulicht wie die für den ein oder anderen ungewohnte exponentielle Zinsberechnung als Grenzwertbetrachtung einer Verzinsung mit immer kleineren Verzinsungsperioden aufgefasst werden kann. Diejenigen, die sich mit der Vorstellung einer stetigen Verzinsung schwer tun, können sich hilfsweise eine tägliche Verzinsung darunter vorstellen. Die EXCEL-Datei zeigt, dass die tägliche Verzinsung (m=360) den Werten der exponentiellen Verzinsung recht nahe kommt, siehe Abbildung 1.

Excel-Tabellenblatt mit stetiger Verzinsung als Grenzwert einer diskreten Verzinsung

Abbildung 1: EXCEL-Tabellenblatt für die Berechnung auf- und abgezinster Beträge

Der hier behandelte Stoff findet sich u. a. in Ingersoll (1987), Baxter/Rennie (1996) und Neftci (1987) wieder. Die Lektüre von Baxter/Rennie (1996) gab den Ausschlag, das binomiale Repräsentationstheorem anhand einer EXCEL-Tabelle zu veranschaulichen. Die originelle Idee, eine Optionsbewertungsformel mittels eines Arbitragearguments abzuleiten, geht auf Black/Scholes (1973) und Merton (1973) zurück.

Arbitrage 1 – Risikolose Wertpapiere: Anleihen

Das Wertpapier mit der risikolosen Einzahlung B in t=1, also nachdem die Zeitspanne δt vergangen ist, hat in arbitragefreien Märkten in t=0 den Preis B_0=B·exp(-r·δt). Warum ist das so?

Wäre der Preis höher, B_0 > B · exp(-r·δt), gäbe es die Möglichkeit zur Erzielung eines risikolosen Gewinns. Folgendes Portefeuille wird zusammengestellt: In t=0 wird das Wertpapier zu B_0 verkauft und der resultierende Erlös wird zu r angelegt. In t=1 resultiert aus der Geldanlage ein Erlös aus Zins und Tilgung in Höhe von B_0 · exp(r·δt), gleichzeitig muss den Käufern des Wertpapiers B an Tilgung und Zinsen zurückgezahlt werden. Das Portefeuille weist also folgende Zahlungsstruktur auf:

t=0: 0

t=1: B_0 · exp(r·δt) – B.

Da wir annahmen B_0>B·exp(-r·δt), gilt auch B_0·exp(r·δt)–B>0, d. h. unser Portefeuille erzielt in t=δt einen risikolosen Gewinn und erfordert keinen Kapitaleinsatz. Dies ist eine Arbitragemöglichkeit, die der Annahme arbitragefreier Märkte widerspricht.

Wäre der Preis niedriger, B_0<B·exp(-r·δt,) erfolgt die Konstruktion des Arbitrageportefeuilles so, dass das Wertpapier gekauft und der Kauf mittels einer Kreditaufnahme finanziert wird. In t=0 resultiert eine Zahlung von 0, der Kauf des Wertpapiers und die Einzahlung aus der Kreditaufnahme heben sich auf und in t=1 erzielt dieses Portefeuille einen risikolosen Gewinn in Höhe von B-B_0·exp(r·δt)>0.

Der einzige Preis, der mit arbitragefreien Märkten kompatibel ist, ist B_0=B·exp(-r·δt).

B wird diskontiert

Abbildung 2: Diskontierung von B

Die Schublade einer Welt ohne Zinsen wird ersetzt durch eine Bank, die r Zinsen bezahlt bzw. r Zinsen fordert. Tatsächlich umfasst das hier diskutierte Modell das einfachere Modell aus Teil I, nämlich für den Fall, dass r=0.

Arbitrage 2 – Aktien

Angenommen in einer Welt mit Zinsen bleiben die zu erwartenden Zahlungen S_u und S_d gleich. Auf den ersten Blick scheint sich für die Bewertung der Aktie nichts geändert zu haben, denn aus dem Besitz von Aktien ergeben sich keine Zinszahlungen. Dieser erste Eindruck täuscht. Die Existenz eines Kapitalmarktes zu dem Geld zu einem positiven Zinssatz angelegt bzw. aufgenommen werden kann, verändert auch hier die Bewertung.

Und zwar verändert die Existenz eines positiven Zinssatzes die Preisunter- und Preisobergrenze. Dies lässt sich anhand eines Beispiels einer Aktie, die in t=1 entweder 100 oder 90 wert ist, zeigen. Ohne Zinsen haben wir gesagt, der Preis muss zwischen 100 und 90 liegen, ansonsten gibt es Arbitragemöglichkeiten. Mit Zinsen ist die Situation etwas unübersichtlicher. Angenommen der Zins betrage 5% und der Preis liegt bei 89. Gibt es jetzt schon Arbitragemöglichkeiten? Ohne Zinsen hätte man die Aktie einfach auf Kredit gekauft und in t=1 zu 90 oder 100 zurückgegeben und entweder 1 oder 11 Gewinn gemacht, der Preis für die Kreditaufnahme war ja annahmegemäß 0%. Mit Zinsen muss jedoch der aufgenommene Kredit verzinst werden. Zum Beispiel sind bei einem Zinssatz von 5% in t=1 89·exp(0,05·1)=93,5631 fällig. In einer Welt mit Zinsen gibt es keine Möglichkeit einen risikolosen Gewinn zu erzielen, fällt der Aktienkurs auf 90, verliert man 3,5631.

Erst wenn der Preis so gering ist, dass in t=1 Zins und Tilgung bedient werden können, entstehen Arbitragemöglichkeiten. Das bedeutet eine untere Grenze für den Preis ist S_d · exp(-r·δt), in unserem Beispiel für S_d = 90, ist die Untergrenze 90 · exp(-0,05·1) = 85,61. Beträgt der Preis z. B. 85 kann durch Kreditkauf der Aktie folgende Gewinne erzielt werden:

Ist die Aktie 90 wert, dann erzielt man einen Gewinn in Höhe von 90 – 85 · exp(0,05) = 90 – 89,36 = 0,64. Ist die Aktie 100 wert, dann erzielt man einen Gewinn in Höhe von 100 – 85 · exp(0,05) = 10,64. Beide Male ist der Gewinn positiv, es besteht eine Arbitragemöglichkeit.

Wie sieht es mit der Obergrenze aus? Angenommen der Preis der Aktie liegt in t=0 bei 98. Ohne Zinsen hätten sich keine Arbitragemöglichkeit ergeben, der Leerverkauf in t=0 hätte 98 erzielt, aber es hätte das Risiko bestanden, in t=1 -2 zu verlieren, nämlich, wenn der Aktienkurs auf 100 gestiegen wäre. Mit Zinsen gäbe es auch hier eine Arbitragegelegenheit, man verkauft in t=0 die Aktie für 98 und legt das Geld für 5% an und erzielt daraus in t=1 einen Erlös in Höhe von 98·exp(0,05·1) = 103,0246, nach Rückgabe der Aktie für 90 oder 100 erzielt man also einen Gewinn in Höhe von 3,0246 oder 13,0246. Daraus folgt für die Preisobergrenze S_u· exp(-r·δt), im Beispiel 100·exp(-0,05·1) = 95,12, siehe Abbildung 3:

Tabellenblatt mit Preisintervall für S

Abbildung 3: EXCEL-Tabellenblatt für das Preisintervall in dem S liegen muss

In einer Welt mit Zinsen muss der Preis der Aktie zwischen S_d · exp(-r·δt) und S_u · exp(-r·δt) liegen. Aus der Preisspanne (S_d;S_u) in einer Welt ohne Zinsen wird eine Preisspanne (S_d;S_u)·exp(-r·δt) in einer Welt mit Zinsen.

Anders ausgedrückt: Der aufgezinste Preis der Aktie muss in dem (offenen) Intervall (S_d;S_u) liegen:

S·exp(r·δt) ∈ (S_d; S_u).

Preisintervall sind die abgezinsten Zahlungen S_u und S_d

Abbildung 4: Preisintervall für den Aktienkurs S

Läge er außerhalb, gäbe es Arbitragemöglichkeiten. In einer Welt mit Zins wird das Preisintervall für die Aktie auch mit steigendem Zins oder größeren Bewertungszeiträumen kleiner. Dies gilt zumindest in dieser einfachen Modellwelt, in der Zinsen keinen Einfluss auf die zu erwartenden Werte S_u und S_d haben. Tatsächlich ist der Einfluss der Zinsen auf Aktienpreise nicht trivial.

Wäre S_d=S_u (wie z. B. beim Bond), gäbe es keinen Unterschied zwischen dem Bond und der Aktie und der aufgezinste Wert der Aktie entspräche S_u=S_d:

S·exp(r·δt) = S_u = S_d.

Martingale

Mit Zinsen werden Martingale auf abdiskontierte zukünftige Zahlungen definiert. Die mit den Martingalwahrscheinlichkeiten q und (1-q) multiplizierten abdiskontierten Zahlungen S_u und S_d müssen dem Aktienkurs S entsprechen:

S = q·exp(-r·δt)·S_u + (1-q)·exp(-r·δt)·S_d

S = exp(-r·δt)·(q·S_u + (1-q) ·S_d).

Da q die einzige unbekannte Variable in der Gleichung ist, lässt sich hier schon der Wert von q angeben:

q = (S – exp(-r·δt)·S_d)/(S_u – S_d).

Zum Beispiel sei S=94; S_u=100; S_d=90 und r=0,03, dann erhält man für q=0,68628. Damit ist der aufgezinste Aktienkurs ein Martingal bezüglich der Wahrscheinlichkeit q:

S·exp(r·δt) = 94·exp(0,03·δ1) = 96,86

(q·S_u + (1-q) ·S_d) = 0,68628·100 + (1-0,68628)·90 = 96,86.

Für das Derivat gilt ähnliches:

f = q·exp(-r·δt)·f_u + (1-q)·exp(-r·δt)·f_d

f = exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q)·f_d).

Mit den obig ermittelten Wahrscheinlichkeiten kann man den Wert f für f_u=8 und f_d=0 angeben:

f = exp(-0,03·1)·(0,68628·8 + (1-0,68628)·0 = 5,33.

Auch der aufgezinste Wert f ist ein Martingal bezüglich der Wahrscheinlichkeiten q und (1-q). Und das ist der einzige Wert für f, der mit arbitragefreien Kapitalmärkten kompatibel ist. Dies ist hier aber noch nicht offensichtlich und wird erst weiter unten offensichtlich.

Natürlich kann man die Wahrscheinlichkeiten auch auf die risikolose Zahlung B anwenden. Schließlich ist die Anleihe ein Wertpapier, das in dem einen Umweltzustand B auszahlt und im andern ebenfalls B. Hier sieht man auch, warum die abdiskontierten Zahlungen mit q und (1-q) bewertet werden:

B_0 = exp(-r·δt)·(q·B + (1-q)·B).

Da B=exp(r·δt)·B_0, ist hier die Gleichung für alle q erfüllt. Nehmen wir an q würde sich direkt auf die Zahlungen beziehen, also

B_0 = q·B + (1-q)·B

dann wäre B_0=B, dies ist für positive Zinsen falsch, die Gleichung also für kein q erfüllt. Natürlich könnte man hier auch ganz allgemein 2 Preise p_1 und p_2 suchen, so dass

B_0 = p_1·B + p_2·B

aber das wären wiederum keine Wahrscheinlichkeiten, da

B_0 = (p_1 + p_2)·B

oder, wenn man B durch exp(r·δt)· B_0 ersetzt:

B_0 = (p_1 + p_2) · exp(r·δt)· B_0

p_1 + p_2 = exp(-r·δt) < 1.

Die Summe der Preise entspricht dem Diskontfaktor, ist aber kleiner 1. Daher können p_1 und p_2 keine Wahrscheinlichkeiten sein.

Die hier abgeleiteten Wahrscheinlichkeiten q und (1-q) dürfen nicht mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten für die beiden Umweltzustände verwechselt werden. Die Wahrscheinlichkeiten q und (1-q) sind Resultat einer Konstruktion mit den Bestandteilen S_d, S_u, S, r und δt.

Binomiales Repräsentationstheorem

Das binomiale Repräsentationstheorem besagt, dass in t=0 ein Wert φ existiert, der die Auszahlungen des Derivats zu den Auszahlungen der Aktie in Beziehung setzt. Dazu werden die beiden Bewertungsgleichungen für S und f kombiniert:

S = exp(-r·δt)·q·S_u + (1-q) · exp(-r·δt)·S_d,

f = q·exp(-r·δt)·f_u + (1-q)·exp(-r·d)·f_d.

Durch Umformen kann nach q aufgelöst werden:

S – exp(-r·δt)·S_d = exp(-r·δt)·(q·S_u – q ·S_d)

f – exp(-r·δt)·f_d = exp(-r·δt)·(q·f_u – q ·f_d)

q = (exp(r·δt)·S –S_d)/(S_u-S_d)

q = (exp(r·δt)·f –f_d)/(f_u-f_d).

Die beiden Gleichungen gleich gesetzt ergeben:

(exp(r·δt)·S –S_d)/(S_u-S_d) = (exp(r·δt)·f –f_d)/(f_u-f_d).

Umstellen und auflösen nach f_d ergibt:

(f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (exp(r·δt)·S –S_d) = (exp(r·δt)·f –f_d)

f_d = exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_d – exp(r·δt)·S)

f_u erhält man durch Addition von f_u-f_d auf beiden Seiten der Gleichung und anschließendem Umformen:

f_d + f_u – f_d= exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_d – exp(r·δt)·S) + f_u – f_d

f_u = exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_d – exp(r·δt)·S) + f_u – f_d

f_u = exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_d – exp(r·δt)·S) +( f_u – f_d)·(S_u-S_d)/(S_u-S_d)

f_u = exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_d – exp(r·δt)·S+S_u-S_d)

f_u = exp(r·δt)·f + (f_u-f_d)/(S_u-S_d) · (S_u – exp(r·δt)·S).

Definiert man φ=(f_u–f_d)/(S_u-S_d) können f_d und f_u folgendermaßen geschrieben werden:

f_d = exp(r·δt)·f + φ · (S_d – exp(r·δt)·S)

f_u = exp(r·δt)·f + φ · (S_u – exp(r·δt)·S)

Die beiden letzten Gleichungen unterscheiden sich auf der rechten Seite nur durch S_d bzw. S_u. Gegenüber der Welt ohne Zinsen, ersetzen also die aufgezinsten Marktwerte exp(r·δt)·f und exp(r·δt)·S f und S. φ bleibt von den Zinsen unbeeinflusst. Subtrahieren der Gleichungen ergibt:

f_u – f_d = φ · (S_u – S_d).

Natürlich resultiert hier genau die obige Definition von φ. Die Herleitung erscheint überflüssig. Doch man benötigt genau diesen Schritt zur Ableitung des replizierenden Portefeuilles. Der Kauf eines Anteils φ einer Aktie, würde in t=1 zu den Auszahlungen φ·S_u bzw. φ·S_d führen, die f_u–f_d, das ist der Abstand der Auszahlungen des Derivats, auseinander liegen. Damit hat man die Spannweite des Derivats über den Kauf eines Anteils der Aktie hergestellt. Was fehlt ist die korrekte Lage. Die wird hergestellt, indem man eine konstante Zahlung abzieht oder dazu zählt, um genau die Zahlungen f_u oder f_d zu erhalten.

Arbitrage 3 – Replizierendes Portefeuille

Jedes Portefeuille, das die gleiche Auszahlungsstruktur wie das Derivat aufweist, muss auf arbitragefreien Kapitalmärkten den gleichen Preis wie das Derivat haben. Wie sieht dieses Portefeuille aus? Kann es aus bekannten Größen konstruiert werden?

Weil wir aus obigen Überlegungen wissen, dass ein Portefeuille bestehend aus φ Aktien die Spannweite des Derivats erzielt, kaufen wir einfach φ Aktien, um damit die Zahlungsstruktur des Derivats zu erzielen. Dieses Portefeuille weist folgende Zahlungsstruktur auf:

t=0: P_0 = – φ · S,

t=1:

Falls die Aktie S_u wert ist, erhält man:

P_u = φ · S_u = (f_u – f_d)/(S_u – S_d) · S_u.

Ist die Aktie S_d wert, erhält man:

P_d = φ · S_d = (f_u – f_d)/(S_u – S_d) · S_d.

Umformen ergibt, dass P_u und P_d den Auszahlungen des Derivats zuzüglich desselben konstanten Betrags entsprechen.

P_u = f_u · S_u/(S_u-S_d) – f_d · S_u/(S_u-S_d)

P_d = f_u · S_d/(S_u-S_d) – f_d · S_d/(S_u-S_d)

P_u = f_u – f_u + (f_u · S_u – f_d · S_u )/(S_u-S_d)

P_d = f_d – f_d + (f_u · S_d – f_d · S_d )/(S_u-S_d)

P_u = f_u – f_u· (S_u – S_d)/(S_u-S_d) + (f_u · S_u – f_d · S_u )/(S_u-S_d)

P_d = f_d – f_d · (S_u – S_d)/(S_u-S_d) + (f_u · S_d – f_d · S_d )/(S_u-S_d)

P_u = f_u + (-f_u· S_u + f_u·S_d + f_u · S_u- f_d · S_u)/(S_u-S_d)

P_d = f_d + (-f_d · S_u + f_d· S_d + f_u · S_d – f_d · S_d)/(S_u-S_d).

Und schließlich:

P_u = f_u + (f_u·S_d – f_d · S_u)/(S_u-S_d)

P_d = f_d + (-f_d · S_u + f_u · S_d)/(S_u-S_d).

Die Auszahlungen P_u bzw. P_d entsprechen den Zahlungen f_u und f_d zuzüglich einer Zahlung (f_u·S_d-f_d·S_u)/(S_u-S_d). Und diese konstante Zahlung kann über die Anleihe oder einen Kredit bzw. eine Anlage repliziert werden. Dazu setzen wir ψ·B gleich der Zahlung:

ψ·B = (f_u·S_d – f_d · S_u)/(S_u-S_d).

Der Barwert dieser Zahlung in t=0 ist gleich:

ψ·B_0 = ψ·B· exp(-r·δt) = (f_u·S_d – f_d · S_u)/(S_u-S_d) · exp(-r·δt).

Dieser Barwert resultiert aus obigen Arbitrageüberlegungen, nämlich dass B_0=B·exp(-r·δt).

Das Portefeuille

φ·S – ψ·B_0 = (f_u – f_d)/(S_u – S_d) · S – (f_u·S_d – f_d · S_u)/(S_u-S_d) · exp(-r·δt)

repliziert die Zahlungsstruktur des Derivats. Alle Werte dieser Gleichung sind im Voraus bekannt. Nur wenn das Derivat in t=0 einen Preis in dieser Höhe aufweist, gibt es keine Arbitragemöglichkeiten.

Wäre der Wert des Derivats höher, würde das Derivat für f verkauft und mit f das Portefeuille gekauft werden, wäre der Wert des Derivats niedriger, würde man das Derivat kaufen und für f das Portefeuille verkaufen. Beide Male könnte der Arbitrageur einen risikolosen Gewinn erzielen.

Umgekehrt: Herleitung der Bewertung mit Martingalwahrscheinlichkeiten aus dem replizierenden Portefeuille

Umgekehrt kann aus dem Wert des replizierenden Portefeuilles auf den Wert des Derivats geschlossen werden. Wenn Arbitrage ausgeschlossen sein soll, dann muss der Wert des replizierenden Portefeuilles gleich dem Wert des Derivats sein:

f = (f_u – f_d)/(S_u – S_d) · S – (f_u·S_d – f_d · S_u)/(S_u-S_d) · exp(-r·δt).

Umformen nach f_u und f_d ergibt:

f = 1/(S_u – S_d)( (f_u – f_d) · S – (f_u·S_d – f_d · S_u) · exp(-r·δt))

f = 1/(S_u – S_d)(f_u·S– f_d·S – f_u·S_d · exp(-r·δt) – f_d · S_u · exp(-r·δt))

f = 1/(S_u – S_d)(f_u·S – f_u·S_d · exp(-r·δt) – f_d·S – f_d · S_u · exp(-r·δt))

f = 1/(S_u – S_d)(f_u·(S – S_d · exp(-r·δt)) – f_d·(S – S_u · exp(-r·δt)).

Zieht man exp(-r·δt) vor die Klammer, erhält man:

f = 1/(S_u – S_d) · exp(-r·δt)· (f_u·(S· exp(r·δt) – S_d) – f_d·(S· exp(r·δt) – S_u)

Mit den oben definierten Wahrscheinlichkeiten für die Bewertung der Aktie,

q = (exp(r·δt)·S – S_d)/(S_u-S_d)

(1-q) = (S_u-S_d – (exp(r·δt)·S –S_d)/S_u-S_d) = (S_u – exp(r·δt)·S)/S_u-S_d)

ergibt sich schließlich auch hier die Bewertung des Derivats mit den Martingalwahrscheinlichkeiten:

f = exp(-r·δt)· (f_u · q – f_d·(1-q)).

Nicht nur ergibt sich das replizierende Portefeuille aus der Bewertung mit Martingalwahrscheinlichkeiten, sondern auch die Bewertung mit Martingalwahrscheinlichkeiten folgt aus der Existenz eines replizierenden Portefeuilles. Arbitragefreie Bewertung und Bewertung mittels Martingalwahrscheinlichkeiten sind äquivalente Sachverhalte.

Die EXCEL-Tabelle

Mittels der EXCEL-Tabelle BinomialRepresentationTheorem_Zinsen können die oben beschriebenen Sachverhalte auf eine einfache Art und Weise nachvollzogen werden. Die EXCEL-Tabelle ist prinzipiell so aufgebaut wie im Falle ohne Zinsen:, siehe Abbildung 5

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem

Abbildung 5: EXCEL-Tabellenblatt für die Berechnung des binomialen Repräsentationstheorem

Die Werte in blau können verändert werden. Zinsen und Zeit werden in den Zeilen 30 bzw. 31 eingegeben. Natürlich muss die Eingabe eines Aktienkurses S unter Beachtung der Preisunter- (= Zelle B10) bzw. Preisobergrenze (=Zelle B11) erfolgen. In der Spalte F ist zur Referenz das Modell ohne Zinsen aufgeführt („Referenz: Keine Zinsen“, Zelle F30 = „0“). Die Bildung des replizierenden Portefeuilles erfolgt ab Zeile 40, siehe Abbildung 6.

alt

Abbildung 6: EXCEL-Tabellenblatt für die Berechnung des binomialen Repräsentationstheorem – replizierendes Portefeuille

Zinswirkung

Welchen Einfluss haben Zinsänderungen auf den Wert des Derivats? Angenommen, die Größen S, S_d und S_u bleiben gleich. Dann steigt die Martingalwahrscheinlichkeit q mit steigendem Zins. Dies liegt daran, dass in der Beziehung

S·exp(r·δt) = q·S_u + (1-q) · S_d

bei steigenden Zinsen S·exp(r·δt) steigt, daher muss S_u ein stärkeres Gewicht erhalten. Die Wahrscheinlichkeit q ist das Gewicht, daher muss q steigen. Dieser Zusammenhang wird auch ersichtlich, wenn ausgehend von der Bestimmungsgleichung für q nach der Wahrscheinlichkeit abgebildet wird:

q = (S·exp(r·δt)-S_d)/(S_u – S_d)

Die Ableitung von q nach dem risikolosen Zinssatz ergibt:

dq/dr = (δt·S·exp(r·δt))/(S_u – S_d) > 0.

Auch hier ergibt sich – wie schon intuitiv vermutet -, dass q mit steigendem r steigt. Wie wirkt sich eine Zinsänderung auf den Wert des Derivats aus? Da

f = exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q) · f_d),

gibt es jetzt zwei Effekte. Einerseits gewichtet die gestiegene Wahrscheinlichkeit q die Zahlung f_u stärker, andererseits wird der gestiegene Erwartungswert stärker abdiskontiert. Die Zinswirkung ergibt sich analytisch über die Ableitung von f nach dem Zinssatz r:

df/dr = – δt·exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q) · f_d) + exp(-r·δt) · dq/dr · (f_u – f_d).

Die Ableitung dq/dr wurde weiter oben ermittelt. Eingesetzt und umgeformt erhält man:

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q) · f_d) + exp(-r·δt) · δt · exp(r·δt)·S/(S_u-S_d) · (f_u – f_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q) · f_d) + δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·(q·(f_u-f_d) + f_d) + δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d).

Eliminieren der Wahrscheinlichkeit q führt zu folgenden Gleichungen:

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·( (exp(r·δt)·S –S_d)/(S_u-S_d)·(f_u-f_d) + f_d) + δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·( (exp(r·δt)·S –S_d)/(S_u-S_d)·(f_u-f_d) + f_d) + δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·( (–S_d)/(S_u-S_d)·(f_u-f_d) + f_d) – δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d) + δt · S · (f_u – f_d)/(S_u-S_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·( (–S_d)/(S_u-S_d)·(f_u-f_d) + f_d)

df/dr = – δt · exp(-r·δt)·( (–S_d)/(S_u-S_d)·(f_u-f_d) + f_d·(S_u-S_d)/(S_u-S_d))

df/dr = – δt · exp(-r·δt)/(S_u-S_d)·( (–S_d) ·(f_u-f_d) + f_d·(S_u-S_d))

df/dr = δt · exp(-r·δt)/(S_u-S_d)·(S_d ·(f_u-f_d) – f_d·(S_u-S_d))

df/dr = δt · exp(-r·δt)/(S_u-S_d)·(S_d ·f_u- S_d ·f_d – f_d·S_u + f_d·S_d))

Und schließlich:

df/dr = δt · exp(-r·δt)/(S_u-S_d)·(S_d ·f_u – f_d·S_u).

Für das Vorzeichen, also ob der Wert des Derivats mit steigenden Zinsen steigt oder sinkt, ist das Vorzeichen von S_d ·f_u – f_d·S_u entscheidend:

S_d ·f_u – f_d·S_u > 0 <=> Der Wert des Derivats steigt mit steigenden Zinsen,

S_d ·f_u – f_d·S_u < 0 <=> Der Wert des Derivats sinkt mit steigenden Zinsen.

Für f_d=0 ist der Ausdruck immer positiv, der Wert des Derivats steigt mit steigenden Zinsen. Für Werte f_d>0, kann der Ausdruck S_d ·f_u-f_d·S_u > (<) 0 umgeformt werden zu:

S_d ·f_u – f_d·S_u > 0

f_u/f_d > S_u/S_d.

Für f_d>0 entscheidet also das Verhältnis der beiden Zahlungen in t=1, ob der Wert des Derivats mit steigenden Zinsen steigt oder fällt.

Dieser Zusammenhang lässt sich ebenfalls in der EXCEL-Tabelle nachvollziehen. Für das Beispiel mit S=94; S_u=100; S_d=90; r=0,03 man eine positive Steigung, siehe Abbildung 7.

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem; positive Zinswirkung, Wert des Derivats steigt bei steigenden Zinsen

Abbildung 7: EXCEL-Tabellenblatt für die Berechnung des binomialen Repräsentationstheorem – Positive Zinswirkung

Aber diese Ableitung ist mit Vorsicht zu genießen. Die Annahme eines konstanten Aktienkurses S in einer Welt mit sich ändernden Zinsen ist höchst problematisch wie sich das oben bei der Analyse zu den Preisunter- und Preisobergrenzen für die Aktie gezeigt hat. Der Aktienkurs wird ebenfalls von dem Zinssatz beeinflusst. Der aufgezinste Aktienkurs S·exp(r·δt) muss in arbitragefreien Märkten in dem Intervall (S_d, S_u) liegen. Wenn der Zinssatz entsprechend hoch ist, dann ist dies für ein konstantes S nicht mehr der Fall, siehe Abbildung 8.

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem; steigender Zins, Auswirkung auf Aktienkurs

Abbildung 8: Steigende Zinsen – Intervall für Aktienkurs wird kleiner

Durch den steigenden Zins sind die Preisunter- und Preisobergrenze gesunken, man beachte, dass die Wahrscheinlichkeit jetzt über 1 gestiegen ist. Das bedeutet, in arbitragefreien Märkten muss der Aktienkurs sinken. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass er in der Mitte des Intervalls der beiden Preisgrenzen liegt (Zelle B5 = =+(B10+B11)/2), dann ergibt sich eine negative Zinswirkung, siehe Abbildung 9.

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem; steigender Zins, Aktienkurs sinkt, Derivatwert sinkt

Abbildung 9: Steigende Zinsen – Das Intervall für den Aktienkurs wird kleiner, das Derivat billiger

Der gestiegene Zins senkt den Aktienkurs, die Wahrscheinlichkeiten liegen durch die Konstruktion des Aktienkurses in der Intervallmitte bei 0,5. Die Wertminderung des Derivats wird allein durch den großen Diskontfaktor hervorgerufen. Besonders deutlich wird das, wenn man den Zins sehr hoch setzt, z. B. auf 1000%, siehe Abbildung 10.

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem; Zinssatz 1000 Proz, Aktienkurs und Derivatwert gegen Null

Abbildung 10: Sehr hoher Prozentsatz, Aktienkurs und Derivatwert gehen gegen Null

Beide Werte, sowohl der Aktienkurs als auch der Wert des Derivats sind fast bei Null. Die Martingalwahrscheinlichkeit q beträgt aufgrund der Konstruktion des Aktienkurses weiter 0,5.

Der Einfluss einer Veränderung der Laufzeit auf den Wert des Derivats ist ähnlich. Lässt man den Aktienkurs S unverändert, dann bewirkt eine längere Laufzeit einen höheren Wert des Derivats. Zwingt die höhere Laufzeit aber den Aktienkurs sich den niedrigeren Preisgrenzen anzupassen, sinkt sowohl der Wert des Aktie als auch der Wert des Derivats.

Tatsächlich zeigt sich auch hier, dass Modelle immer von bestimmten impliziten oder expliziten Annahmen geprägt sind. Diese Annahmen sind besonders bei der Übertragung von Modellaussagen auf die Wirklichkeit zu berücksichtigen.

Wirkung einer Preisänderung des Underlying

Schließlich untersuchen wir die Auswirkungen einer Änderung des Aktienkurses auf den Wert des Derivats. Der Wert des Derivats ist

f = exp(-r·δt)·(q·f_u + (1-q)·f_d)

f = exp(-r·δt)·(q·(f_u – f_d) + f_d).

Leitet man diesen Wert nach S ab, erhält man

df/dS = exp(-r·δt)·(dq/dS·(f_u – f_d)).

Die Ableitung der Martingalwahrscheinlichkeit q ist, da

q = (exp(r·δt)·S –S_d)/(S_u-S_d)

dq/dS = exp(r·δt)/(S_u-S_d).

Eingesetzt ergibt sich für die Ableitung des Derivats nach dem Aktienkurs S

df/dS = (f_u – f_d)/(S_u – S_d).

Dieser Parameter wird in der Regel mit Δ bezeichnet. Er bezeichnet die Reagibilität des Derivats in Bezug auf Änderungen des Preises des Underlying. Ein anderer Begriff ist Hedgeparameter, damit wird ausgedrückt, welche Menge des Underlying man kaufen oder verkaufen muss, um die Preisänderung des Derivats zu kompensieren. Verkauft man z. B. ein Derivat für f und kauft Δ·S des Underlying, dann verändert sich der Wert des Portefeuilles bei Änderungen des Aktienkurses nicht:

d(f – Δ·S)/dS = Δ – Δ = 0.

EXCEL-Tabellenblatt mit dem binomialen Repräsentationstheorem; Änderung des Aktienkurses

Abbildung 11: Änderung des Aktienkurses

Achtung: Auch bei diesem Wert handelt es sich nicht um eine Wahrscheinlichkeit. Dies sieht man daran, dass Δ bei entsprechenden Ausprägungen von f_u, f_d S_d und S_u negativ und größer als 1 sein kann. Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen 0 und 1.

Schlussbemerkung

In einer einfachen Welt, in der in Zukunft einer von zwei Umweltzuständen realisiert wird, reichen zwei Wertpapiere, nämlich eine Aktie mit unterschiedlichen Zahlungen in den beiden Umweltzuständen und ein risikolosen Wertpapier, um Wahrscheinlichkeiten abzuleiten. Für jedes Wertpapier muss der mit diesen Wahrscheinlichkeiten gebildeten Erwartungswerte auf arbitragefreien Märkten dem aufgezinsten Marktwert entsprechen. Daher nennt man diese Wahrscheinlichkeiten Martingalwahrscheinlichkeiten. Das binomiale Repräsentationstheorem besagt, dass es für jede Auszahlungsstruktur eine Repräsentation bestehend aus der Aktie und der risikolosen Kreditaufnahme bzw. Anlage gibt. Unter Arbitragefreiheit bestimmt der Wert dieses replizierenden Portefeuilles den Wert der Auszahlungsstruktur.

Es bieten sich mehrere Erweiterungen dieses einfachen Modells an. Die Zahl zukünftiger Umweltzustände kann erhöh werden. Ist die Anzahl „linear unabhängiger“ Wertpapiere gleich der Anzahl der Umweltzustände, spricht man von vollständigen Kapitalmärkten. Auch hier sind Existenz von Martingalwahrscheinlichkeiten und Arbitragefreiheit äquivalente Sachverhalte.

Analog zur Vorgehensweise bei einer stetigen Verzinsung kann auch das Intervall für die zufällige Preisänderung in kleinere Intervalle unterteilt werden. Dadurch kommt man zu einer Binomialverteilung des Aktienkurses erhält das Binomialmodell von Cox/Ross/Rubinstein (1979). Schließlich approximiert die Normalverteilung die Binomialverteung und es ergibt sich die Bewertungsformel von Black/Scholes (1973).

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